Цель работы

• Рассмотреть модель экспоненциального роста и её математическую формализацию
  
• Найти аналитическое решение соответствующего дифференциального уравнения
  
• Выполнить параметрическое исследование влияния коэффициента роста \(\alpha\)
  
• Проанализировать:
  • характер изменения функции \(u(t)\)
  • зависимость времени удвоения \(T_2\)
  • особенности вычислительных затрат

Задание

• Исследовать модель экспоненциального роста
  
• Разобрать её математическое представление
  
• Провести вычислительные эксперименты при различных значениях \(\alpha\)
  
• Представить результаты в графическом виде

Дифференциальное уравнение

Экспоненциальный процесс описывается следующим уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Где:

• \(u\) — текущее значение величины (например, популяция или капитал)
  
• \(t\) — время
  
• \(\alpha\) — коэффициент роста
  • \(\alpha>0\) — наблюдается увеличение
    
  • \(\alpha<0\) — происходит убывание

Решение и характеристики

Аналитическое решение:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Формула для времени удвоения:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Основные свойства модели:

• с увеличением \(\alpha\) темп роста возрастает
  
• время удвоения становится меньше

Базовый эксперимент (α = 0.3)

• Рассмотрено изменение функции \(u(t)\) на фиксированном временном промежутке
  
• Наблюдается типичная экспоненциальная динамика с ускорением роста

Влияние α на рост

• Выполнены расчёты для значений:
  • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
• При увеличении \(\alpha\) скорость роста системы заметно возрастает

Время удвоения

Теоретическое выражение:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

• Результаты вычислений подтверждают аналитическую зависимость
  
• С увеличением \(\alpha\) время удвоения уменьшается

Время вычислений

• Проведена оценка зависимости времени расчёта от значения \(\alpha\)
  
• Существенных изменений не наблюдается

Выводы

• Экспоненциальный процесс задаётся уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

• Его аналитическое решение имеет вид:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

• Коэффициент \(\alpha\) определяет интенсивность роста системы
  
• Время удвоения описывается соотношением:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

• Проведённые вычислительные эксперименты подтвердили теоретические положения
  
• При увеличении \(\alpha\):
  • рост становится более интенсивным
    
  • время удвоения сокращается
    
  • вычислительные затраты возрастают незначительно