Математическое моделирование

Лабораторная работа № 1

Абдуллахи Шугофа

Российский университет дружбы народов

2026-02-12

Вводная часть

Цель работы

  • Рассмотреть модель экспоненциального роста и её математическую формализацию
  • Найти аналитическое решение соответствующего дифференциального уравнения
  • Выполнить параметрическое исследование влияния коэффициента роста \(\alpha\)
  • Проанализировать:
    • характер изменения функции \(u(t)\)
    • зависимость времени удвоения \(T_2\)
    • особенности вычислительных затрат

Задание

  • Исследовать модель экспоненциального роста
  • Разобрать её математическое представление
  • Провести вычислительные эксперименты при различных значениях \(\alpha\)
  • Представить результаты в графическом виде

Теория: модель

Дифференциальное уравнение

Экспоненциальный процесс описывается следующим уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Где:

  • \(u\) — текущее значение величины (например, популяция или капитал)
  • \(t\) — время
  • \(\alpha\) — коэффициент роста
    • \(\alpha>0\) — наблюдается увеличение
    • \(\alpha<0\) — происходит убывание

Решение и характеристики

Аналитическое решение:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Формула для времени удвоения:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Основные свойства модели:

  • с увеличением \(\alpha\) темп роста возрастает
  • время удвоения становится меньше

Эксперимент: базовый

Базовый эксперимент (α = 0.3)

  • Рассмотрено изменение функции \(u(t)\) на фиксированном временном промежутке
  • Наблюдается типичная экспоненциальная динамика с ускорением роста

Эксперимент: параметрическое исследование

Влияние α на рост

  • Выполнены расчёты для значений:
    • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
  • При увеличении \(\alpha\) скорость роста системы заметно возрастает

Время удвоения

Теоретическое выражение:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

  • Результаты вычислений подтверждают аналитическую зависимость
  • С увеличением \(\alpha\) время удвоения уменьшается

Время вычислений

  • Проведена оценка зависимости времени расчёта от значения \(\alpha\)
  • Существенных изменений не наблюдается

Итоги

Выводы

  • Экспоненциальный процесс задаётся уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

  • Его аналитическое решение имеет вид:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

  • Коэффициент \(\alpha\) определяет интенсивность роста системы
  • Время удвоения описывается соотношением:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

  • Проведённые вычислительные эксперименты подтвердили теоретические положения
  • При увеличении \(\alpha\):
    • рост становится более интенсивным
    • время удвоения сокращается
    • вычислительные затраты возрастают незначительно